Информация о докладе

Представлен вычислительный подход на основе физически информированных нейронных сетей для решения прямых и обратных задач классической и обобщённой теории теплопроводности, а также связанной нестационарной термоупругости. Рассматриваются одномерные модели Максвелла–Каттанео и Грина–Нагди II–III типов, описывающие тепловые процессы с конечной скоростью распространения, а также классическая параболическая модель теплопроводности для сравнительного анализа. Математическая постановка включает дифференциальные уравнения  моделей, начальные и граничные условия различных типов.
Физически информированная нейронная сеть обучается на функции потерь, построенной непосредственно на основе математической постановки задачи. Структура функции потерь включает невязку в дифференциальном уравнении (внутри расчетной области), отклонения от начальных условий (на начальном временном слое) и граничных условий (на пространственных границах), а при наличии экспериментальных или численных данных — также компоненту, отражающую согласование решения с наблюдаемыми значениями. Сеть аппроксимирует искомое решение в пространственно-временной области, а обучение осуществляется на множестве точек коллокации с использованием градиентных методов оптимизации, а также квазиньютоновских методов.
Проведена верификация метода на эталонных задачах с известными аналитическими решениями, полученными с помощью метода разделения переменных и интегрального преобразования Лапласа по времени, а также на независимых численных решениях, построенных с использованием конечно-разностных схем второго порядка точности. Показано, что предложенный подход корректно воспроизводит особенности гиперболических моделей теплопроводности с учётом конечной скорости движения теплового фронта и времени релаксации и обеспечивает точность, сопоставимую с традиционными численными методами.
Рассмотрены обратные задачи, заключающиеся в восстановлении неизвестных параметров модели (например, коэффициента теплопроводности или параметров релаксации) по данным, поступающим с одного датчика регистрации наблюдений. При решении обратной задачи в состав функции потерь дополнительно включается компонент, отражающий расхождение между расчётными значениями решения и экспериментальными  показаниями датчика во времени. Это позволяет реализовать согласование модели с наблюдаемыми данными и обеспечить идентификацию параметров в рамках единого процесса обучения. Проведённые расчёты показали устойчивость метода к шуму в данных, включая аддитивные и относительные составляющие при сохранении высокой точности восстановления параметров.
Полученные результаты демонстрируют высокую эффективность применения физически информированных нейронных сетей для решения прямых и обратных задач гиперболической теплопередачи и связанной термоупругости. Выявленные сходимость и точность приближённого решения, подтверждённые аналитической и численной верификацией, позволяют рассматривать данный подход как надёжный инструмент для анализа тепловых и термомеханических процессов. Метод обладает потенциалом к масштабированию на более сложные классы задач, включая многомерные и нелинейные постановки, а также расчёты в неоднородных и анизотропных средах со сложной геометрией.

Литература
1.    Вахтерова Я.А., Кузнецова Е.Л., Фан Т. Ш. Моделирование теплопроводности в стержне на основе уравнения Максвелла-Каттанео с помощью глубокого машинного обучения// СТИН. – 2025. – № 7. – С. 25-29. = Vakhterova, Y.A., Kuznetsova, Son, P.T. Modeling Thermal Conductivity in a Rod Based on the Maxwell–Cattaneo Equation Using Deep Machine Learning. // Russian Engineering Research 45, 1168–1172. DOI: 10.3103/S1068798X25701655
2.    Вахтерова, Я. А., Рабинский Л.Н. Физически информированная нейронная сеть для решения уравнения теплопроводности Грина-Нагди III ТИПА // СТИН. – 2025. – № 9. – С. 28-32.
3.    Fedotenkov G.V., Ershova A.Yu., Son P.T. Wave Dynamics in Thermoelastic Layers: A Machine Learning Approach // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2025. — Vol. 46, No. 6. — P. 2781-2796. — DOI: 10.1134/S1995080225608264.

Докладчики

• Я.А. Вахтерова
• Г.В. Федотенков