Информация о докладе

Задачи одностороннего дискретного контакта упругих тел

Бобылев А.А., к.ф.-м.н., доцент
МГУ, кафедра теории упругости
abobylov@gmail.com

В докладе рассматриваются плоские и пространственные задачи одностороннего дискретного контакта однородных и неоднородных упругих тел при отсутствии трения. При постановке задач предполагается известной только предельно возможная область контакта, включающая множество отдельных пятен фактического контакта, положение и размеры которых заранее неизвестны и подлежат определению в процессе решения задачи.
С использованием оператора Пуанкаре-Стеклова (ОПС), отображающего в зоне возможного контакта нормальные напряжения в нормальные перемещения, для рассматриваемого класса задач получены граничные вариационные формулировки в виде вариационного неравенства и эквивалентной ему задачи минимизации функционала. При конечномерной аппроксимации граничных вариационных задач требуется дискретизировать только часть границы области – зону возможного контакта, что существенно уменьшает размерность получаемых дискретных задач и снижает вычислительные затраты. В результате аппроксимации вариационных формулировок задач одностороннего контакта получены задачи квадратичного программирования с ограничениями в виде неравенств и равенств. Для численного решения этих задач разработаны два вычислительных алгоритма на основе метода сопряженных градиентов.
Для упругой полуплоскости и упругого полупространства известны интегральные представления ОПС с использованием соответствующей функции Грина (решения Фламана и Буссинеска). Для произвольной стратифицированной упругой полосы (слоя) или упругой полуплоскости (полупространства) со стратифицированным упругим покрытием получить представление функции Грина в явном виде весьма затруднительно. Для перечисленных выше упругих тел применение интегрального преобразования Фурье позволяет свести действие ОПС к выполнению прямого и обратного преобразований Фурье и перемножению трансформант. При численной реализации преобразований используются алгоритмы быстрого преобразования Фурье.
В докладе представлена разработанная методика численного построения передаточной функции ОПС (трансформанты функции Грина) для полубесконечных стратифицированных упругих тел. Построены одномерные краевые задачи для транcформант перемещений и получены их вариационные формулировки. Доказаны существование и единственность обобщенного решения. Аппроксимация вариационных задач для транcформант перемещений производилась методом конечных элементов.
Получены трехчленные асимптотические разложения передаточной функции ОПС для больших значений параметра преобразования Фурье и построены аппроксимации Паде полученных асимптотических рядов. Предложен подход к вычислению передаточной функции с использованием асимптотического ряда и аппроксимаций Паде, существенно сокращающий вычислительные затраты.
Методом вычислительного эксперимента в рамках плоской и пространственной постановок исследованы закономерности контактного взаимодействия поверхностей с регулярным микрорельефом (РМР).  На основе установленных закономерностей предложена методика приближенного расчета распределения нагрузок между элементами РМР, а также оценки контактного давления, размеров площадок фактического контакта и средних конечных зазоров на микровыступах.
Рассмотрена задача коллективного индентирования упругой полуплоскости системой жестких штампов, упруго связанных с общей платформой. Исследована возможность использования метода коллективного индентирования для определения приведенного модуля упругости путем сравнения тактильных образов, полученных при индентировании полуплоскости из тестируемого материала и материала-эталона.

Публикации
1. Бобылев А. А. О положительной определенности оператора Пуанкаре-Стеклова для упругой полуплоскости // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2021, № 6. С. 34-40.
2. Бобылев А. А. Применение метода сопряженных градиентов к решению задач дискретного контакта для упругой полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. 2022, № 2. С. 135-153.
3. Бобылев А. А. Алгоритм решения задач дискретного контакта для упругой полосы // Прикладная математика и механика. 2022, том 86, № 3. С. 404-423.
4. Бобылев А. А. Численное построение трансформанты ядра интегрального представления оператора Пуанкаре-Стеклова для упругой полосы // Дифференциальные уравнения. 2023, том 59, № 1. С. 115-129.
5. Бобылев А. А. Алгоритм решения задач дискретного контакта для упругого слоя // Изв. РАН. МТТ. 2023, № 2. С. 70-89.
6. Бобылев А. А. О вычислении передаточной функции оператора Пуанкаре-Стеклова для функционально-градиентной упругой полосы //Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2023, № 5. С. 52-60.
7. Бобылев А. А. Алгоритм решения задач одностороннего дискретного контакта для многослойной упругой полосы // Прикладная механика и техническая физика. 2024, том 65, № 2. С. 230-242.
8. Бобылев А. А. Задача одностороннего дискретного контакта для функционально-градиентной упругой полосы // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2024, № 2. С. 58-69.
9. Бобылев А. А. Задача одностороннего дискретного контакта для стратифицированной упругой полосы // Прикладная математика и механика. 2024, том 88, № 4. С. 630-644.
10. Бобылев А. А. Построение передаточной функции оператора Пуанкаре-Стеклова для упругой полуплоскости с покрытием // Дифференциальные уравнения. 2024, том 60, № 9. С. 1225-1240.
11. Бобылев А. А. Применение метода сопряженных градиентов к решению задач одностороннего дискретного контакта для упругого полупространства // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024, том 64, № 11. С. 2164-2179.
12. Бобылев А. А. Алгоритм вычисления передаточной функции оператора Пуанкаре-Стеклова для стратифицированной упругой полосы //Вест. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2025. № 1.
С.10-17.
13. Бобылев А. А. Задача коллективного индентирования упругой полуплоскости системой жестких штампов, упруго связанных с общей платформой // Прикладная математика и механика. 2025, том 89, № 2. С. 280-294.
14. Бобылев А. А. О закономерностях контактного взаимодействия поверхностей с регулярным микрорельефом (плоская задача) // Изв. РАН. МТТ. 2025, № 3. С. 139-160.
15. Бобылев А. А. Об операторе Пуанкаре-Стеклова для несжимаемой упругой полосы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025, том 65, № 11. С. 1865-1880.
16. Бобылев А. А. Построение передаточной функции оператора Пуанкаре-Стеклова для упругого слоя // Дифференциальные уравнения. 2026, том 62, № 1. С. 118-133.

Докладчики

• Бобылев А.А., к.ф.-м.н., доцент