Информация о докладе

В механике сплошной среды хорошо известен факт существования сингулярных
решений для компонент поля напряжений — в задачах теории упругости о
равновесии пластин с угловыми вырезами. Используя функцию напряжений
Эйри для плоских конфигураций, которая удовлетворяет однородному
бигармоническому уравнению, Вилльямс построил решение, содержащее
сингулярность для поля упругих напряжений, и предложил подход для его
исследования в окрестности сингулярности. В физических теориях прочности
также рассматриваются сингулярности полей напряжений и предлагаются
способы их удаления. Способы получения регулярных решений сингулярных
задач представлены у отечественных и зарубежных исследователей. Тем не
менее, для сингулярности Вилльямса такого способа не указано в научной
литературе, поэтому целью данной работы является восполнение этого
пробела. В связи с этим возникает необходимость расширения классической
теории. Общая идея состоит в отказе от классических условий совместности
Сен-Венана, которые идентичны требованию обращения в нуль тензора
Римана-Кристоффеля. Это требование выражает условие того, что внутренняя
геометрия среды является евклидовой, поэтому обобщение классической
теории может быть выполнено на пути перехода к неевклидовой модели: в
этом случае компоненты тензора Римана-Кристоффеля становятся
дополнительными параметрами модели, характеризующими внутреннюю
геометрию материала. В двумерном случае тензор Римана-Кристоффеля
определяется единственной компонентой — скалярной кривизной (функция
несовместности). При расширении классической теории функция напряжений
Эйри удовлетворяет неоднородному бигармоническому уравнению. Показано,
что структура полного поля внутренних напряжений складывается из
классического поля упругих напряжений и неклассического поля напряжений,
определяемого через функцию несовместности. В предположении квадратичной
зависимости внутренней энергии среды от термодинамических переменных
представлено уравнение для функции несовместности. В полярной системе
координат построено решение для функции напряжений Эйри и показано, что
поле полных напряжений не содержит сингулярности для всех углов выреза

Докладчики

• Гузев Михаил Александрович (Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток)